如果检察院没有支持被害人及其法定代理人请求抗诉的申请，被害人及其法定代理人只能在一审判决生效之后，以自己的名义向检察院、法院申诉，申请启动审判监督。
 
当事人（包括受害人、被告人）及其法定代理人、近亲属，对已经发生法律效力的判决、裁定，可以向人民法院或者人民检察院提出申诉，
《刑事诉讼法》第二百一十八条被害人及其法定代理人不服地方各级人民法院第一审的判决的，自收到判决书后五日以内，有权请求人民检察院提出抗诉。人民检察院自收到被害人及其法定代理人的请求后五日以内，应当作出是否抗诉的决定并且答复请求人。
第二百四十一条当事人及其法定代理人、近亲属，对已经发生法律效力的判决、裁定，可以向人民法院或者人民检察院提出申诉，但是不能停止判决、裁定的执行。
第二百四十二条当事人及其法定代理人、近亲属的申诉符合下列情形之一的，人民法院应当重新审判：
(一) 有新的证据证明原判决、裁定认定的事实确有错误，可能影响定罪量刑的；
(二) 据以定罪量刑的证据不确实、不充分、依法应当予以排除，或者证明案件事实的主要证据之间存在矛盾的；
(三) 原判决、裁定适用法律确有错误的；(四)违反法律规定的诉讼程序，可能影响公正审判的；
(四) 审判人员在审理该案件的时候，有贪污受贿，徇私舞弊，枉法裁判行为的。
(五)
 
附法律依据：
 
人民检察院刑事诉讼规则（试行）
　　第五百八十八条  被害人及其法定代理人不服地方各级人民法院第一审的判决,在收到判决书后五日以内请求人民检察院提出抗诉的,人民检察院应当立即进行审查,在收到被害人及其法定代理人的请求后五日以内作出是否抗诉的决定,并且答复请求人。经审查认为应当抗诉的,适用本规则第五百八十四条至第五百八十七条的规定办理。
　　被害人及其法定代理人在收到判决书五日以后请求人民检察院提出抗诉的,由人民检察院决定是否受理。
　　第五百九十一条  人民检察院认为人民法院已经发生法律效力的判决、裁定确有错误,具有下列情形之一的,应当按照审判监督程序向人民法院提出抗诉:
　　(一)有新的证据证明原判决、裁定认定的事实确有错误,可能影响定罪量刑的;
　　(二)据以定罪量刑的证据不确实、不充分的;
　　(三)据以定罪量刑的证据依法应当予以排除的;
　　(四)据以定罪量刑的主要证据之间存在矛盾的;
　　(五)原判决、裁定的主要事实依据被依法变更或者撤销的;?
　　(六)认定罪名错误且明显影响量刑的;
　　(七)违反法律关于追诉时效期限的规定的;
　　(八)量刑明显不当的;
　　(九)违反法律规定的诉讼程序,可能影响公正审判的;
　　(十)审判人员在审理案件的时候有贪污受贿,徇私舞弊,枉法裁判行为的。
　　对已经发生法律效力的判决、裁定的审查,参照本规则第五百八十五条的规定办理