依据原劳社部2005年12号文的规定，劳动合同逾期的，用人单位应当予以补签合同;没有补签的，或双方协商不一致无法补签的，可以终止劳动关系;但是用人单位提出终止劳动关系的，应当按照劳动者在本单位工作年限每满1年支付1个月工资的经济补偿金。即终止事实劳动关系的，应当按照员工的工作年限来支付经济补偿金。
对于你所提出的问题，其实质就是在劳动合同期满后，双方之间建立了新的事实劳动关系。对于事实劳动关系，公司可以提出终止，但是，应当按照你的工作年限支付经济补偿金。你在该公司工作了3年，应当支付你3个月的工资作为经济补偿金。你们单位答应给你1个月的补偿金是按照劳动合同终止支付经济补偿金的，这属于基于劳动合同的终止，而不是事实劳动关系的终止。另外，由于你的劳动合同5月份到期，公司应当在1个月内与你续订劳动合同;逾期没有及时续订的，应当每月支付双倍的工资。因此，你还可以要求6月份以及7月份的双倍工资。
解除劳动关系经济补偿金补偿协议书
甲方:(公司)
乙方:(员工)
乙方身份证号：xxxx年xx月xx日应聘进入甲方公司任xx一职;于xxxx年xx月xx日时，甲方与乙方协商一致，解除劳动关系，就甲方按照乙方工龄支付乙方经济补偿金一事上,现甲、乙双方基于平等、自愿的立场上，双方协商一致，达成协议如下：
一、甲方同意支付乙方经济补偿金，同时自本协议生效之日起，甲方应于2013年 月 日前，支付乙方因甲、乙双方协商一致，解除劳动、保险关系的经济补偿金。
二、甲、乙双方同意，由甲方一次性支付乙方经济补偿金待遇;乙方工龄换算补偿金计算基数计5个月，一次性经济补偿金共计人民币xx元整，从乙方签领该款时起，甲、乙双方解除劳动合同，终结劳动、保险关系。
三、乙方在签领上述一次性经济补偿金待遇以后，甲、乙双方解除劳动合同，终结劳动、保险关系;乙方同意不再以任何理由，向甲方提出因甲方违反劳动合同的经济补偿金要求及法律诉讼。
四、本协议经双方签字或盖章后生效，同时乙方确认甲方已结清乙方的所有工资及加班费。本协议一式三份，甲、乙双方各一份，劳动部门备存一份。
甲方：
乙方：
年 月 日